13.已知函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x-2lnx.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當a>0時,若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為1,求a的值.

分析 (1)當a=1時,化簡函數(shù)求出導數(shù),求出斜率,然后求解切線方程.
(2)求出函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).通過當a>0時,求出極值點,判斷函數(shù)的單調性,求出函數(shù)的最值,即可.

解答 解:(1)當a=1時,f(x)=x2-2lnx,f′(x)=2x-$\frac{2}{x}$.…(1分)
因為f′(1)=0,f(1)=1,切點為(1,1),切線斜率為0,
所以切線方程是y=1.…(4分)
(2)函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x-2lnx的定義域是(0,+∞).
當a>0時,f′(x)=2ax+2(a-1)-$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2(a-1)x-2}{x}$(x>0),
令f′(x)=0,即f′(x)=$\frac{2a{x}^{2}+2(a-1)x-2}{x}$=$\frac{2(x+1)(ax-1)}{x}$=0,
所以x=-1(舍)或x=$\frac{1}{a}$.…(8分)
當0<$\frac{1}{a}$≤1,即a≥1時,f(x)在[1,e]上單調遞增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1),由f(1)=3a-2=1,得a=1;
當1<$\frac{1}{a}$<e,即$\frac{1}{e}<a<1$時,f(x)在(1,$\frac{1}{a}$)上單調遞減,在($\frac{1}{a}$,e)上單調遞增,
∴f(x)在[1,e]上的最小值是f($\frac{1}{a}$),由$f(\frac{1}{a})=\frac{1}{a}+\frac{{2({a-1})}}{a}-2ln\frac{1}{a}=1$,得$ln\frac{1}{a}=\frac{a-1}{2a}$,
∵$ln\frac{1}{a}>0$,$\frac{a-1}{2a}<0$,∴當$\frac{1}{e}<a<1$時,f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值不為1;
當$\frac{1}{a}$≥e,即$a≤\frac{1}{e}$時,f(x)在(1,e)上單調遞減,所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e),
由f(e)=ae2+2(a-1)e-2=1,得$a=\frac{2e+3}{{{e^2}+2e}}$,
∴$a-\frac{1}{e}=\frac{2e+3}{{{e^2}+2e}}-\frac{1}{e}=\frac{{2{e^2}+3e-{e^2}-2e}}{{e({{e^2}+2e})}}=\frac{{{e^2}+e}}{{e({{e^2}+2e})}}>0$,即$a>\frac{1}{e}$,
∴當$a≤\frac{1}{e}$時,f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值不為1.
綜上可知,當a=1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為1.…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,切線方程的求法,函數(shù)的最值的求法,考查轉化思想以及計算能力.

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