Question

5．設(shè)A₁，A₂，A₃，…，A_n是集合{1，2，3，…，n}的n個(gè)非空子集（n≥2），定義a_ij=$\left\{\begin{array}{l}{0{，A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1，{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$，其中i，j=1，2，…，n，這樣得到的n²個(gè)數(shù)之和記為S（A₁，A₂，A₃，…，A_n），簡記為S，下列三種說法：①S與n的奇偶性相同；②S是n的倍數(shù)；③S的最小值為n，最大值為n²．其中正確的判斷是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ③

Answer 1

分析 由集合的子集的概念和規(guī)定第i行與第j列的數(shù)為a_ij=$\left\{\begin{array}{l}{0{，A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1，{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$，其中i，j=1，2，…，n，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．

解答 解：把a(bǔ)ij按其腳注排成一個(gè)數(shù)陣的話，如下，對(duì)角線上全是1，對(duì)角線外，1成對(duì)出現(xiàn)，如下：

（1）a₁₁=a₂₂=…=a_nn=1；
（2）當(dāng)i≠j時(shí)，若a_ij=1，則a_ij=1；
若a_ij=0，則a_ij=0；
即對(duì)角線上全是1，對(duì)角線外，1成對(duì)出現(xiàn)，
所以，S=n+2k，k是某一個(gè)非負(fù)整數(shù)，
即：S與n的奇偶性一致，且S最小值是n，
又因?yàn)椋��?dāng)A₁=A₂=…=A_n時(shí)，S=n²．
故①③是正確的．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的子集的概念，考查簡單的合情推理，以及對(duì)規(guī)定的理解和運(yùn)用，屬于中檔題．