Question

16．已知函數(shù)$f（x）=（1-k）x+\frac{1}{e^x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當k=0時，過點A（0，t）存在函數(shù)曲線f（x）的切線，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）設(shè)切點坐標為（x₀，y₀），求出切線方程，將A（0，t）代入得$t=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}}}$，令$M（x）=\frac{x+1}{e^x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為R，
所以$f'（x）=\frac{{（1-k）{e^x}-1}}{e^x}$，
①當k≥1時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）為減函數(shù)，
②當k＜1時，令f'（x）=0，則x=-ln（1-k），
當x∈（-∞，-ln（1-k））時，f'（x）＜0，
f（x）在（-∞，-ln（1-k））上單調(diào)遞減；
當x∈（-ln（1-k），+∞）時，f'（x）＞0，
f（x）在（-ln（1-k），+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）設(shè)切點坐標為（x₀，y₀），
則切線方程為y-y₀=f'（x₀）（x-x₀）
即$y-（{x_0}+\frac{1}{{{e^{x_0}}}}）=（1-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}）（x-{x_0}）$
將A（0，t）代入得$t=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}}}$．
令$M（x）=\frac{x+1}{e^x}$，所以$M'（x）=\frac{-x}{e^x}$．
當$M'（x）=\frac{-x}{e^x}=0$時，x₀=0．
所以當x∈（-∞，0）時，M'（x）＞0，
函數(shù)M（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞增；
當x∈（0，+∞）時，M'（x）＜0，
M（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以當x₀=0時，M（x）_max=M（0）=1，無最小值．
當t≤1時，存在切線．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．