Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）在x∈（0，e]上有最小值1？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)曲線y=f（x）在P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，則f′（1）=-1，求出a，對函數(shù)求導(dǎo)，l利用導(dǎo)函數(shù)，在定義域中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）f′（x）=$\frac{-a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，分a≤0，a≥e，0＜e＜e討論函數(shù)的最小值，建立有關(guān)a的方程，求出a即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵y=f（x）在點(diǎn)P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，
∴f′（1）=-1，f′（x）=$\frac{-a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，則f′（1）=1-a=-1，解得a=2，
此時(shí)f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為（2，+∞），
由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，減區(qū)間為（0，2）．
（2）f′（x）=$\frac{-a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上遞增，故不存在最小值．
2）當(dāng)a≥e時(shí)，f′（x）≤0在（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上遞減，故存在最小值為f（e）=$\frac{a}{e}=1$，⇒a=e符合題意．
3）0＜a＜e時(shí)，f′（x）≥0在（a，e]上恒成立，f（x）在（a，e]上遞增，f′（x）≤0在（0，a]上恒成立，f（x）在（0，a]上遞減，
故存在最小值為f（a）=lna=1⇒a=e不符合題意．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e，使函數(shù)y=f（x）在x∈（0，e]上有最小值1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)參數(shù)的不同取值討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定最小值，屬于中檔題．