Question

7．已知圓M過點(diǎn)A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），C（-3，0）．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（0，2）的直線l與圓M相交于D、E兩點(diǎn)，且|DE|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法，求圓M的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用|DE|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓M：x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{3+\sqrt{3}E+F=0}\\{1+D+F=0}\\{9-3D+F=0}\end{array}\right.$，∴D=2，E=0，F(xiàn)=-3
…（3分）
故圓M：x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（-1，0）．
設(shè)N為DE中點(diǎn)，則MN⊥l，|DN|=|EN|=$\sqrt{3}$…（5分）
此時(shí)|MN|=$\sqrt{4-3}$=1．…（6分）
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，c=0，此時(shí)|MN|=1，符合題意  …（7分）
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+2，由題意$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，…（8分）
解得：k=$\frac{3}{4}$，…（9分）
故直線l的方程為3x-4y+8=0…（10分）
綜上直線l的方程為x=0或3x-4y+8=0

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．