Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（-2，2）．
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{14}{5}$，求（sinα+cosα）²的值；
（2）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，求sin（π-α）•sin（$\frac{π}{2}+α$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求2sinαcosα的值，即可得解．
（2）根據(jù)平面向量的共線定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinαcosα，進而利用誘導公式化簡所求即可得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（-2，2）．$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2sinα-2cosα=$\frac{14}{5}$，
∴解得：sinα-cosα=$\frac{7}{5}$，兩邊平方，可得：1-2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，解得：2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1-$\frac{24}{25}$=$\frac{1}{25}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，
∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，
∴兩邊平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=-$\frac{1}{2}$，
∴sin（π-α）•sin（$\frac{π}{2}+α$）=sinα•cosα=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算、平面向量的共線定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．