Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求x的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量垂直的性質，求得tanx的值，可得x的值．
（2）由條件利用兩個向量數量積的運算公式、定義，求得sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，從而求得x的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$），
若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，則sinx-cosx=0，∴tan x=1，x=$\frac{π}{4}$．
（2）因為|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=1，所以$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}$•cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即sin x-cos x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，∴x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），∴x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$，x=$\frac{5π}{12}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量數量積的運算，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．