Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax．若g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，對存在x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-$\frac{5}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]
• C． （-∞，$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{5}{4}$]
• D． （-∞，$\frac{1}{{e}^{2}}$-8]

Answer 1

分析 利用恒成立通過函數(shù)的導數(shù)轉化求解函數(shù)的最值，推出不等式求解即可．

解答 解：對存在x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，
∴[f′（x₁）]_min≤[g（x₂）]_max，f′（x）=（x+1）²+a-1，在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞增，
∴[f′（x₁）]_min=$f′（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{4}+a$，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，
則[g（x）]_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{e}}{e}$，∴$\frac{5}{4}+a≤\frac{\sqrt{e}}{e}$，則a≤$\frac{\sqrt{e}}{e}-\frac{5}{4}$，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的單調性以及函數(shù)的導數(shù)的應用，考查轉化思想以及計算能力．