Question

15．有下列命題：
①在函數(shù)y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）的圖象中，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π；
②命題：“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a=0，則ab≠0”；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件；
④已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sin≤1，則￢p是：存在x₀∈R，使得sinx₀＞1；
⑤命題“若0＜a＜1，則log_a（a+1）＞log_a（1+$\frac{1}{a}$）”是真命題；
⑥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立；
⑦若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；  
其中所有真命題的序號(hào)是③④⑤⑦．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡得y=$\frac{1}{2}$cos2x，周期T=π，則相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，故①錯(cuò)誤；根據(jù)否命題的定義可知②錯(cuò)誤；“a+b=0”是“a=5，且b=-5”的必要不充分條件，而原命題與逆否命題真假性相同，故③正確；根據(jù)命題的否定的定義可知④正確；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷⑤正確；當(dāng)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＜$0時(shí)，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|＞|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$，故⑥錯(cuò)誤；根據(jù)向量的數(shù)量積定義可知⑦正確．

解答 解：對(duì)于①：y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=cos[$（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{2}$]cos（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}cos2x$，周期T=π，所以相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：根據(jù)否命題的定義可知，否命題是“若a≠0，則ab≠0”，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：因?yàn)椤癮=5，且b=-5”是“a+b=0”的充分不必要條件，所以“a+b=0”是“a=5，且b=-5”的必要不充分條件，根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同的規(guī)律可知，“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件，故③正確；
對(duì)于④：根據(jù)命題的否定的定義可知，全稱命題的否定是特稱命題，故④正確；
對(duì)于⑤：因?yàn)?＜a＜1，所以y=log_ax在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又因?yàn)閍+1＜1+$\frac{1}{a}$，所以$lo{g}_{a}（a+1）＞lo{g}_{a}（1+\frac{1}{a}）$，故⑤正確；
對(duì)于⑥：當(dāng)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＜$0時(shí)，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，所以$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}＞（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$，即$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|＞|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$，故⑥錯(cuò)誤；
對(duì)于⑦：根據(jù)向量的數(shù)量積定義可知，⑦正確．
故答案為：③④⑤⑦

點(diǎn)評(píng) 本題通過判斷命題的真假考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，簡易邏輯，對(duì)數(shù)函數(shù)以及向量的有關(guān)知識(shí)，只有扎實(shí)掌握各章節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)才能正確解答．