Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數(shù)，a＞0）．給出下列命題：
①函數(shù)的最小值為-1；
②若方程m=|f（x+k）|（k∈R）有兩個零點，則m≥1
③若f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a≥1
④對任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
其中正確命題的序號是①④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數(shù)且a＞0）的圖象，
①由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；判斷①的正誤；
②利用函數(shù)的零點個數(shù)判斷②的正誤；
③只需說明f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值，
從而求得a的取值范圍是a＞1；判斷③的正誤；
④已知函數(shù)f（x）的圖象在（-∞，0））上是下凹的，所以任取兩點連線應(yīng)在圖象的上方．判斷④的正誤；

解答 解：對于①，由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；故正確；
對于②，方程m=|f（x+k）|（k∈R）有兩個零點，而函數(shù)y=|f（x+k）|，由f（x）圖象左右平移后，x軸下方的部分對稱到x軸上方，m=1時，有3個零點，所以②不正確；
對于③，只需說明f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；不正確；
對于④，已知函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的圖象是下凹的，所以任取兩點連線應(yīng)在圖象的上方，即有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故正確．
故答案為：①④．

點評 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值是常用的方法，解答本題的關(guān)鍵是圖象法．