Question

3．在底面為梯形的四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AP=PB，AD=CD=2，BC=4．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）若二面角B-PA-D的大小為120°，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)E，連接PE，推導(dǎo)出PE⊥面ABCD，從而PE⊥AC，再求出AC⊥AB，從而AC⊥面PAB，由此能證明AC⊥PB．
（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AP的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）取AB中點(diǎn)E，連接PE，
∵PA=PB，∴PE⊥AB，∵AB為面PAB與面ABCD交線，PE?面PAB，且面PAB⊥面ABCD，
∴PE⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴PE⊥AC，
∵底面為直角梯形，AC=AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BC=4，
∴AC²+BC²=BC²，∴AC⊥AB，
∵PE∩AB=E，PE?面PAB，AB?面PAB，
∴AC⊥面PAB，
∵PB?面PAB∴AC⊥PB．
解：（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，2，0），B（0，4，0），D（2，0，0），設(shè)P（1，3，t），（t＞0），
$\overrightarrow{PA}$=（1，-1，-t），$\overrightarrow{BA}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DA}$=（0，2，0），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-y-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x-2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
設(shè)平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=x-y-tz=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（t，0，1），
∵二面角B-PA-D的大小為120°，
∴cos120°=-|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=-$\frac{t}{\sqrt{2}•\sqrt{{t}^{2}+1}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得t=1，或t=-1（舍），∴P（1，3，1），
∴AP的長(zhǎng)|AP|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（3-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．