Question

8．如圖，⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M，AP為⊙O的切線，∠BAP=∠BAC
（I）證明：△ABM≌△DBA；
（II ）若BM=2，MD=3，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用圓的弦切角定理和相似三角形的判定定理：對(duì)應(yīng)角相等，則三角形相似，即可得證；
（II ）由相似三角形的性質(zhì)和圓的弦切角定理，可得AB=$\sqrt{10}$，∠BAP=∠BCA，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得到所求長(zhǎng)．

解答 解：（I）證明：AP為⊙O的切線，
可得∠BAP=∠BDA，又BAP=∠BAC，
則∠BDA=∠BAC，
又∠BAC=∠BDA，
即∠BAM=∠BDA，
在△ABM和△DBA中，∠BAM=∠BDA，∠MBA=∠ABD，
則△ABM～△DBA；
（II ）由△ABM～△DBA，可得
$\frac{AB}{DB}$=$\frac{BM}{BA}$，
由BM=2，MD=3，
可得AB²=DB•BM=5×2=10，
解得AB=$\sqrt{10}$，
AP為⊙O的切線，可得∠BAP=∠BCA，
又∠BAP=∠BAC，
即∠BCA=∠BAC，
則BC=AB=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的弦切角定理和相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．