Question

1．已知函數(shù)f（x）=log_a（-x²+log_2ax）對任意x∈（0，$\frac{1}{2}$）都有意義，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{128}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [$\frac{1}{64}$，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的單調(diào)性得出log_2ax＞0，0＜2a＜1，0＜a＜$\frac{1}{2}$，判斷出函數(shù)g（x）=-x²+log_2ax在（0，$\frac{1}{2}$）單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為-$\frac{1}{4}$+log_2a $\frac{1}{2}$≥0即可求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a（-x²+log_2ax）的定義域是（0，$\frac{1}{2}$），
∴-x²+log_2ax＞0，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
∵-$\frac{1}{4}$＜-x²＜0，
∴l(xiāng)og_2ax＞0，
∴0＜2a＜1，0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)g（x）=-x²+log_2ax在（0，$\frac{1}{2}$）單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$+log_2a $\frac{1}{2}$恒成立，
∴只需-$\frac{1}{4}$+log_2a $\frac{1}{2}$≥0即可．
a≥$\frac{1}{32}$，
故實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$），
故選：C．

點評 本題考查了有關(guān)系的二次，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)的最值結(jié)合不等式求解，屬于中檔題．