Question

14．若雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），求出其漸近線方程，結(jié)合題意，由點(diǎn)到直線的距離可得$\frac{|0+bc|}{\sqrt{1+^{2}}}$=2，解可得b的值，進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值，由雙曲線的離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為（±c，0），
則有c=$\sqrt{1+^{2}}$，
雙曲線的漸近線方程為：y=±bx，即y±bx=0，
又由題意，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，則有d=$\frac{|0+bc|}{\sqrt{1+^{2}}}$=b=2，
即b=2，
則c=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線方程中b的值．