已知兩定點E(-2,0),F(2,0),動點P滿足,由點P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點M滿足,點M的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程
(2)過點D(0,-2)作直線與曲線C交于A、B兩點,點N滿足
(O為原點),求四邊形OANB面積的最大值,并求此時的直線的方程.
(1) (2) 直線的方程為
解析試題分析:解(1)動點P滿足,點P的軌跡是以E F為直徑的圓,動點P的軌跡方程為.設(shè)M(x,y)是曲線C上任一點,因為PMx軸,,點P的坐標(biāo)為(x,2y), 點P在圓上, ,
曲線C的方程是 .
(2)因為,所以四邊形OANB為平行四邊形,
當(dāng)直線的斜率不存在時顯然不符合題意;
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為y=kx-2,與橢圓交于兩點,由得
,由,得,即
10分
令
,,解得,滿足,
,(當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立),
當(dāng)平行四邊形OANB面積的最大值為2.
所求直線的方程為
考點:圓錐曲線方程的求解和運(yùn)用
點評:主要是考查了運(yùn)用代數(shù)的方法來通過向量的數(shù)量積的公式,以及聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理來求解,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓與軸負(fù)半軸交于點,為橢圓第一象限上的點,直線交橢圓于另一點,橢圓左焦點為,連接交于點D。
(1)如果,求橢圓的離心率;
(2)在(1)的條件下,若直線的傾斜角為且△ABC的面積為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+ 相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個交點為,是橢圓的右焦點,試探究以為
直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的原點與極點重合,軸的正半軸與極軸重合,單位長度相同。已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為,射線,,與曲線交于極點以外的三點A,B,C.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時,B,C兩點在曲線上,求與的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的兩個焦點,,過且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于兩點,如果的周長等于8。
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點的直線與橢圓交于不同兩點,試問在軸上是否存在定點,使恒為定值?若存在,求出點的坐標(biāo)及定值;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、F,A是橢圓C上的一點,AF⊥FF,O是坐標(biāo)原點,OB垂直AF于B,且OF=3OB.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點,那么OQ⊥OQ”成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線,點、分別為雙曲線的左、右焦點,動點在軸上方.
(1)若點的坐標(biāo)為是雙曲線的一條漸近線上的點,求以、為焦點且經(jīng)過點的橢圓的方程;
(2)若∠,求△的外接圓的方程;
(3)若在給定直線上任取一點,從點向(2)中圓引一條切線,切點為. 問是否存在一個定點,恒有?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的長軸長為,焦點是,點到直線的距離為,過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于兩點,使得.
(1)求橢圓的方程;(2)求直線的方程.
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