Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-2sinx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]的最值；
（Ⅱ）若存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）＜ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最值；
（2）存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，x-2sinx＜ax成立，設(shè)g（x）=f（x）-ax=x-2sinx-ax，根據(jù)g（x）導(dǎo)函數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性即可；

解答 （1）f'（x）=1-cos2x，[0，π]時(shí)$f'（x）＞0⇒\frac{π}{3}＜x≤π$；$f'（x）＜0⇒0≤x＜\frac{π}{3}$
函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$單調(diào)遞減，在$[{\frac{π}{3}，π}]$單調(diào)遞減增．
x∈[0，π]時(shí)，${f_{min}}（x）=f（\frac{π}{3}）=\frac{π}{3}-\sqrt{3}$f（0）=0，f（π）=π，f_max（x）=f（π）=π；
（2）存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）＜ax成立；
存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，x-2sinx＜ax成立；
設(shè)g（x）=f（x）-ax=x-2sinx-ax，則g（0）=0且g'（x）=1-a-2cosx．
$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，1-2cosx∈（-1，1）；
所以g'（x）=1-a-2cosx∈（-1-a，1-a）；
若-1-a＜0，即a＞-1時(shí)，g'（0）=-1-a＜0；
因?yàn)間'（x）=1-a-2cosx在$（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞增，所以存在區(qū)間$（{0，t}）?（0，\frac{π}{2}）$，
使x∈（0，t）時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，t）單調(diào)遞減，
x∈（0，t）時(shí)，g（x）＜0 即f（x）＜ax；
所以：a＞-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，以及構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，屬中等題．