Question

10．如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)．
（1）求證：BF∥平面ADP
（2）已知O是BD的中點(diǎn)，求證：BD⊥平面AOF．

Answer 1

分析 （1）作FM⊥CD，垂足為M，連接BM，證明平面BFM∥平面ADP，可得BF∥平面ADP
（2）已知O是BD的中點(diǎn)，證明FO⊥BD，AO⊥BD，即可證明：BD⊥平面AOF．

解答 證明：（1）作FM⊥CD，垂足為M，連接BM，則DM=2PE=AB，EM∥PD
∵DM∥AB，
∴DMBA是平行四邊形，
∴BM∥AD，
∵BM?平面ADP，AD?平面ADP
∴BM∥平面ADP
同理EM∥平面ADP
∵BM∩EM=M．
∴平面BFM∥平面ADP
∵BF?平面BFM，
∴BF∥平面ADP；
（2）由（1）可知FM=PE，DM=BM=2PE，∴FD=FB=$\sqrt{5}$PE，
∵O是BD的中點(diǎn)，∴FO⊥BD，
∵AD=AB，O是BD的中點(diǎn)，∴AO⊥BD，
∵AO∩FO=O，
∴BD⊥平面AOF．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．