Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2${\sqrt{3}^{\;}}$，且AC，BD交于點O，E是PB上任意一點．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）若E為PB的中點，且二面角A-PB-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，求EC與平面PAB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出DP⊥AC，從而BD⊥AC，進而AC⊥平面PBD，由此能證明AC⊥DE．
（2）連接OE，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出EC與平面PAB所成角θ的正弦值．

解答 證明：（1）因為DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，
因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，
又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
因為DE?平面PBD，∴AC⊥DE．
解：（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，
所以EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設PD=t，則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），
E（0，0，$\frac{t}{2}$），P（0，-$\sqrt{3}$，t）．
設平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-x-\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{2\sqrt{3}}{t}$），
平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
因為二面角A-PB-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
所以|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+\frac{12}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以t=2或t=-2（舍）
$P（0，-\sqrt{3}，2$），E（0，0，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{EC}=（-1，0-1）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{EC}，n＞|=\frac{{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}}{{\sqrt{7}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
∴EC與平面PAB所成角θ的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．