Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當0＜x＜e時，證明：f（e+x）＞f（e-x）；
（3）設函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m的兩個交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點的橫坐標為x₀，證明：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求導，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，即可求得函數(shù)f（x）的極值；
（2）采用分析法，要證明f（e+x）＞f（e-x），只需證（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），構(gòu)造輔助函數(shù)求導，由F′（x）＞0，即可求得函數(shù)單調(diào)性遞增，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，即可求得f（e+x）＞f（e-x）；
（3）由（1）可知0＜x₁＜e＜x₂，則0＜e-x₁＜e，由（2）可知，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，x₁+x₂＞2e，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e，即可f'（x₀）＜0．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，求導f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當x=e時，f（x）取極大值為$\frac{1}{e}$，無極小值，
（2）證明：要證明f（e+x）＞f（e-x），即證$\frac{ln（e+x）}{e+x}$＞$\frac{ln（e-x）}{e-x}$，
只需證（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），
設F（x）=（e-x）ln（e+x）-（e+x）ln（e-x），
求導F′（x）=$\frac{2（{e}^{2}+{x}^{2}）}{{e}^{2}-{x}^{2}}$-ln（e²-x²）=[2-ln（e²-x²）]+$\frac{4{x}^{2}}{{e}^{2}-{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（0）=0，
∴（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），
∴f（e+x）＞f（e-x），
（3）證明：不妨設x₁＜x₂，由（1）可知0＜x₁＜e＜x₂，
由0＜e-x₁＜e，
由（2）可知：f[e+（e-x₁）]＞f[e-（e-x₁）]=f（x₁）=f（x₂），
由2e-x₁＞e，x₂＞e，且f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
即x₁+x₂＞2e，
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e，
∴f'（x₀）＜0．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關系，考查分析法證明不等式成立，考查計算能力，屬于中檔題．