Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（x²-x+1）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)果，直接求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），…（1分）
f′（x）=e^x （x²-x+1）+e^x （2x-1）=e^x （x²+x）． …（3分）
由x²+x=0得x=-1，x=0，又e^x＞0，
∴若x＜-1，則f′（x）＞0；若-1＜x＜0，則f′（x）＜0；若x＞0，則f′（x）＞0．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）和（0，﹢∞），減區(qū)間為（-1，0）．  …（8分）
（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上的最小值為f（0），
∴[f（x）]_min=f（0）=1，∴當(dāng)m＜1時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立．
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1）．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及閉區(qū)間上的函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．