Question

20．已知函數f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x平行，求實數a的值及該切線方程；
（Ⅱ）若對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數，利用切線方程斜率關系求出a，然后求解切線方程．
（Ⅱ）解1：通過函數的導數與函數的單調性關系求出函數的極大值，即可得到a的范圍．
解2：當a≥0時，驗證不符題意，當a＜0時，通過函數的導數與單調性的關系，求出f（x）的最大值然后求解a的取值范圍．

解答 （本小題12分）
（Ⅰ）解：$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}$，x＞0．----------------------------------------------------------（2分）
由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．---------------------------------------------------（3分）
因為f（1）=1，所以在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x-1．------------------------（4分）
（Ⅱ）解1：若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，即$a≤\frac{1-lnx}{x}$成立．------------（6分）
設$g（x）=\frac{1-lnx}{x}$，--------------------------------------------------------------（7分）$g'（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，令g'（x）=0，解得x=e²，
則g'（x），g（x）的情況如下：

x	（0，e2）	e2	（e2+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極大值	↗

---------------------------------------------（9分）
所以g（x）的最小值為g（e²）=-e^-2，------------------------------------------（10分）
所以，依題意只需實數a滿足a≤-e^-2，---------------------------------------（11分）
故所求a的取值范圍是（-∞，-e^-2]．--------------------------------------------（12分）
解2：當a≥0時，f'（x）＞0恒成立，所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）
又因為$f（1+\frac{1}{a}）=ln（1+\frac{1}{a}）+a+1＞1$，所以不符題意，舍．--------------------（6分）
當a＜0時，令f'（x）=0，得$x=-\frac{1}{a}$．----------------------------------------------（7分）
所以f'（x），f（x）隨x的變化如下表所示：

x	$（0，-\frac{1}{a}）$	$-\frac{1}{a}$	$（-\frac{1}{a}，+∞）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

-----------------------------------------（9分）
所以f（x）的最大值為$f（-\frac{1}{a}）$，------------------------------------------------------（10分）
所以，依題意只需$f（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）-1≤1$即可，解得a≤-e^-2．---------------（11分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，-e^-2]．---------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的最值的求法，切線方程的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．