Question

19．已知函數f（x）=e^2x-a•e^x+2x是R上的增函數，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． [-4，4]
• B． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，4]
• D． （-∞，2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 令f′（x）≥0在R上恒成立，使用換元法將問題轉化為二次函數問題解決．

解答 解：f′（x）=2e^2x-ae^x+2，
∵f（x）是R上的增函數，
∴f′（x））=2e^2x-ae^x+2≥0在R上恒成立，
設e^x=t，則t＞0，
∴2t²-at+2≥0在（0，+∞）上恒成立，
（1）若△=a²-16≤0，解得-4≤a≤4．顯然符合題意．
（2）若△=a²-16＞0，即a＜-4或a＞4時，只需令2t²-at+2=0有兩個負根即可．
∴$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0．
∴a＜-4．
綜上，a的取值范圍是a≤4．
故選：C

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，二次函數的性質的運用，分類討論，方程的運用，屬于中檔題．