6．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)平面向量的模長公式，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
即|$\overrightarrow{a}$|2-|$\overrightarrow$|2=$\frac{1}{2}$．
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，∴|$\overrightarrow$|2=$\frac{1}{2}$，∴|$\overrightarrow$|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；…（4分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{π}{4}$；…（8分）
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|2=$\overrightarrow{a}$2+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$2
=1+2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角、模長的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．已知數(shù)列n∈N*滿足bn+1=$\frac{1}{2}{b_n}+\frac{1}{4}，{b_1}=\frac{7}{2}，{T_n}$為{bn}的前n項(xiàng)和．如果對于任意n∈N*，不等式$\frac{12k}{{12+n-2{T_n}}}$≥2n-7恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為[$\frac{3}{32}$，+∞）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時取得極值，且f（1）=-1．
（I）試求常數(shù)a、b、c的值；
（II）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．在△ABC中，b=2，B=30°，c=2$\sqrt{3}$，求a和A，C．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．要得到y(tǒng)=sinx的圖象只需將$y=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的圖象（　�。�
A．先向左平移$\frac{2π}{3}$單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的$\frac{1}{2}$
B．先向右平移$\frac{2π}{3}$單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的$\frac{1}{2}$
C．先將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的$\frac{1}{2}$，再將圖象向左平移$\frac{π}{3}$單位
D．先將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將圖象向右平移$\frac{π}{3}$單位

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．在如圖所示的矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為線段BC上的點(diǎn)，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DE}$的最小值為（　�。�
A．2B．4C．$\frac{17}{4}$D．$\frac{15}{4}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．若無窮數(shù)列{an}滿足：?k∈N*，對于$?n≥{n_0}（{n_0}∈{N^*}）$，都有an+k-an=d（其中d為常數(shù)），則稱{an}具有性質(zhì)“P（k，n0，d）”．
（Ⅰ）若{an}具有性質(zhì)“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；
（Ⅱ）若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c3=2，b3=c1=8，an=bn+cn，判斷{an}是否具有性質(zhì)“P（2，1，0）”，并說明理由；
（Ⅲ）設(shè){an}既具有性質(zhì)“P（i，2，d1）”，又具有性質(zhì)“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互質(zhì)，求證：{an}具有性質(zhì)“$P（j-i，i+2，\frac{j-i}{i}{d_1}）$”．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．現(xiàn)有三張卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，背面完全相同，將卡片洗勻，背面向上放置，甲、乙二人輪流抽取卡片，每人每次抽一張，抽取后不放回，甲先抽．若二人約定，先抽到標(biāo)有偶數(shù)的卡片者獲勝，則甲獲勝的概率是（　�。�
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{5}{6}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x2-5x+4lnx在[t，t+1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是（　　）
A．{t|3＞t＞2或0＜t＜1}B．{t|t＞2}C．{t|t＞3}D．{t|4＞t＞3或0＜t＜1}

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案