(本小題滿分14分)
如圖4,已知四棱錐
,底面
是正方形,
面
,點(diǎn)
是
的中點(diǎn),點(diǎn)
是
的中點(diǎn),連接
,
.
(1)求證:
面
;
(2)若
,
,求二面角
的余弦值.
(1)證法1:取
的中點(diǎn)
,連接
證法2:連接
并延長交
的延長線于點(diǎn)
,連接
證法3:取
的中點(diǎn)
,連接
(2)
(本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法)
(1)證法1:取
的中點(diǎn)
,連接
,
∵點(diǎn)
是
的中點(diǎn),
∴
. …………… 1分
∵點(diǎn)
是
的中點(diǎn),底面
是正方形,
∴
. …………… 2分
∴
.
∴四邊形
是平行四邊形.
∴
. …………… 3分
∵
平面
,
平面
,
∴
面
. …………… 4分
證法2:連接
并延長交
的延長線于點(diǎn)
,連接
,
∵點(diǎn)
是
的中點(diǎn),
∴
, …………… 1分
∴點(diǎn)
是
的中點(diǎn). …………… 2分
∵點(diǎn)
是
的中點(diǎn),
∴
. …………… 3分
∵
面
,
平面
,
∴
面
. …………… 4分
證法3:取
的中點(diǎn)
,連接
,
∵點(diǎn)
是
的中點(diǎn),點(diǎn)
是
的中點(diǎn),
∴
,
.
∵
面
,
平面
,
∴
面
. ………… 1分
∵
面
,
平面
,
∴
面
. ……… 2分
∵
,
平面
,
平面
,
∴平面
面
. …………… 3分
∵
平面
,
∴
面
. …………… 4分
(2)解法1:∵
,
面
,
∴
面
. …………… 5分
∵
面
,
∴
. ………… 6分
過
作
,垂足為
,連接
,
∵
,
面
,
面
,
∴
面
. …………… 7分
∵
面
,
∴
. ……… 8分
∴
是二面角
的平面角. ………… 9分
在Rt△
中,
,
,得
,
…………… 10分
在Rt△
中,
,得
,
. …………… 11分
在Rt△
中,
, ……… 12分
. ……… 13分
∴二面角
的余弦值為
. ………… 14分
解法2:∵
,
面
,
∴
面
.
在Rt△
中,
,
,得
,
…………… 5分
以點(diǎn)
為原點(diǎn),
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,
建立空間直角坐標(biāo)系
, …………… 6分
則
.
∴
,
. …………… 8分
設(shè)平面
的法向量為
,
由
,
,
得
令
,得
,
.
∴
是平面
的一個(gè)法向量. …………… 11分
又
是平面
的一個(gè)法向量, …………… 12分
. …………… 13分
∴二面角
的余弦值為
. …………… 14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖1,在平行四邊形
ABCD中,
AB=1,
BD=
,∠
ABD=90°,
E是
BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線
BD折成直二面角
A-
BD-
C,如圖2所示.
(1)若
F、
G分別是
AD、
BC的中點(diǎn),且
AB∥平面
EFG,求證:
CD∥平面
EFG;
(2)當(dāng)圖1中
AE+
EC最小時(shí),求圖2中二面角
A-
EC-
B的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)在正四棱錐
中,側(cè)棱
的長為
,
與
所成的角的大小等于
.
(1)求正四棱錐
的體積;
(2)若正四棱錐
的五個(gè)頂點(diǎn)都在球
的表面上,求此球
的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
球內(nèi)接正四棱錐的高為3,體積為6,則這個(gè)球的表面積是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分10分)
如圖,在三棱柱
中,
平面
,
,點(diǎn)
是
的中點(diǎn).
求證:(1)
;(2)
平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
正三棱錐
中,
,
的中點(diǎn)分別為
,且
,則正三棱錐
外接球的表面積為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
圖形P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中點(diǎn).AC,BD交于O點(diǎn).
(1)二面角Q-BD-C的大。
(2)求二面角B-QD-C的大。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知平面
平面
,
,線段
與線段
交于點(diǎn)
,若
,則
= ( )
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