Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+${\frac{{y}^{2}}{^{2}}}^{\;}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B，△BF₁F₂是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程及離心率；
（Ⅱ）是否存在過點F₂的直線l，交橢圓于兩點P、Q，使得PA∥QF₁，如果存在，試求直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△BF₁F₂是邊長為2的正三角形，a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求得橢圓C的標準方程及離心率；
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（2，0），設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，利用韋達定理求得y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，由向量的共線定理求得y₂=-2y₁，即可求得y₁和y₂，則即可求得m的值，即可求得直線方程；解法2：當(dāng)直線l⊥x時，$\frac{丨P{F}_{2}丨}{丨Q{F}_{2}丨}$=1≠$\frac{丨A{F}_{2}丨}{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}$，則PA∥QF₁不成立，不符合題意，設(shè)直線L的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的共線定理即可求得x₁和x₂，即可求得k的值，求得直線方程．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+${\frac{{y}^{2}}{^{2}}}^{\;}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由△BF₁F₂是邊長為2的正三角形，
a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，…（2分）
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（3分）
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；…（4分）
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（2，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
顯然直線l的斜率不為零，設(shè)直線l的方程為x=my+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，…（5分）
整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
△=36m²+36（3m²+4）=144m²+144＞0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，…（7分）
則$\overrightarrow{AP}$=（x₁-2，y₁）=（my₁-1，y₁）$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₂+1，y₂）=（my₂+2，y₂），…（8分）
若PA∥QF₁，則（my₁-1）y₂=（my₂+2）y₁，即y₂=-2y₁，…（9分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}\\{{y}_{2}=-\frac{12m}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$，則y₁•y₂=-$\frac{72{m}^{2}}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$，…（10分）
故$\frac{72{m}^{2}}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，解得：5m²=4，即m=±$\frac{2}{\sqrt{5}}$，…（11分）
故l的方程為x=$\frac{2}{\sqrt{5}}$y+1或x=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$y+1，
即$\sqrt{5}$x-2y-$\sqrt{5}$=0或$\sqrt{5}$+2y-$\sqrt{5}$=0   …（12分）
解法2：由（Ⅰ）得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（2，0），
直線l⊥x時，$\frac{丨P{F}_{2}丨}{丨Q{F}_{2}丨}$=1≠$\frac{丨A{F}_{2}丨}{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}$，則PA∥QF₁不成立，不符合題意．…（5分）
可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1）..…（6分）
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…（7分）
則△=144（k²+1）＞0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，①x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，②．…（8分）
$\overrightarrow{AP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₂+1，y₂）．
若PA∥QF₁，則$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，
則k（x₁-2）（x₂-1）-k（x₂+1）（x₁-1）=0．
化簡得2x₁+x₂-3=0③．…（9分）
聯(lián)立①③可得x₁=$\frac{4{k}^{2}+9}{4{k}^{2}+3}$，x₂=$\frac{4{k}^{2}-9}{4{k}^{2}+3}$，…（10分）
代入②可以解得：k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$．…（11分）
故l的方程為$\sqrt{5}$x-2y-$\sqrt{5}$=0或$\sqrt{5}$+2y-$\sqrt{5}$=0．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．