Question

7．某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道M₁，M₂（寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（單位：米），要求圓M與AB，AD分別相切于點(diǎn)B，D，圓M₂與AC，AD分別相切于點(diǎn)C，D．
（1）若$∠BAD=\frac{π}{3}$，求圓M₁，M₂的半徑（結(jié)果精確到0.1米）
（2）若觀景步道M₁，M₂的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元，則當(dāng)∠BAD多大時(shí)，總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果分別精確到0.1°和0.1千元）

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)即可得出圓的半徑；
（2）設(shè)∠BAD=2α，則總造價(jià)y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），化簡(jiǎn)，令1+tanα=x換元，利用基本不等式得出最值．

解答 解：（1）連結(jié)M₁M₂，AM₁，AM₂，
∵圓M₁與AB，AD相切于B，D，圓M₂與AC，AD分別相切于點(diǎn)C，D，
∴M₁，M₂⊥AD，∠M₁AD=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{π}{6}$，∠M₂AD=$\frac{π}{12}$，
∴M₁B=ABtan∠M₁AB=60×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.6（米），
∵tan$\frac{π}{6}$=$\frac{2tan\frac{π}{12}}{1-ta{n}^{2}\frac{π}{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴tan$\frac{π}{12}$=2-$\sqrt{3}$，
同理可得：M₂D=60×tan$\frac{π}{12}$=60（2-$\sqrt{3}$）≈16.1（米）．
（2）設(shè)∠BAD=2α（0＜α＜$\frac{π}{4}$），由（1）可知圓M₁的半徑為60tanα，圓M₂的半徑為60tan（45°-α），
設(shè)觀景步道總造價(jià)為y千元，則y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α）=96πtanα+108π•$\frac{1-tanα}{1+tanα}$，
設(shè)1+tanα=x，則tanα=x-1，且1＜x＜2．
∴y=96π（x-1）+108π（$\frac{2}{x}-1$）=12π•（8x+$\frac{18}{x}$-17）≥84π≈263.8，
當(dāng)且僅當(dāng)8x=$\frac{18}{x}$即x=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，tanα=$\frac{1}{2}$，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．
∴當(dāng)∠BAD為53.2°時(shí)，觀景步道造價(jià)最低，最低造價(jià)為263.8千元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．