Question

18．已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)滿足：f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，且當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）²，當-1≤x＜3時，f（x）=x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=337．

Answer 1

分析 通過f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$可知函數(shù)f（x）是周期T=6的函數(shù)，進而可求出f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，利用2014=335×6+4計算即得結論．

解答 解：因為f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，
所以f（x+6）=f（x+3+3）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期T=6的函數(shù)，
又因為-3≤x＜-1時f（x）=-（x+2）²，當-1≤x＜3時f（x）=x，
所以f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，
f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，
因為2014=335×6+4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
所以所求值為335+（1+2-1+0）=337，
故答案為：337．

點評 本題考查求函數(shù)的值，考查函數(shù)的周期性，考查分段函數(shù)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．