6.在△ABC中,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),∠BAD=90°.
(1)若cosB=$\frac{2}{3}$,求cosC;
(2)求cosC的取值范圍.

分析 (1)設(shè)AB=2,可求BD,BC的值,利用余弦定理可求AC,進(jìn)而由余弦定理可求cosC的值.
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,由正弦定理得,$\frac{y}{sinB}=\frac{2x}{sin(B+C)}$,$\frac{y}{cosB}=\frac{x}{cos(B+C)}$,兩式相除,利用兩角和與差的正切函數(shù)公式可求tanC=$\frac{tanB}{{1+2{{tan}^2}B}}=\frac{1}{cotB+2tanB}$,結(jié)合B的范圍,進(jìn)而計(jì)算得解.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)在Rt△ABD中,設(shè)AB=2,
∵$cosB=\frac{2}{3}$,
∴BD=3,BC=2BD=6,
在△ABC中,由余弦定理得,
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+62$-2•2•6•\frac{2}{3}=24$,
∴$AC=2\sqrt{6}$,
在△ABC中,由余弦定理得,$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}=\frac{{24+{6^2}-{2^2}}}{{2•2\sqrt{6}•6}}=\frac{{7\sqrt{6}}}{18}$.----------(6分)
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,由題可得,$∠ADC=B+\frac{π}{2},∠DAC=π-∠ADC-C=\frac{π}{2}-B-C$,
在△ABC中,由正弦定理得,$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$,
∴$\frac{y}{sinB}=\frac{2x}{sin(B+C)}$,①,
在△ADC中,由正弦定理得,$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$,
∴$\frac{y}{{sin(B+\frac{π}{2})}}=\frac{x}{{sin(\frac{π}{2}-B-C)}}$,即$\frac{y}{cosB}=\frac{x}{cos(B+C)}$,②,
②÷①得,$tanB=\frac{1}{2}tan(B+C)$,
∴tan(B+C)=2tanB,
∴tanC=tan((B+C)-B)=$\frac{tan(B+C)-tanB}{1+tan(B+C)•tanB}=\frac{2tanB-tanB}{1+2tanB•tanB}$=$\frac{tanB}{{1+2{{tan}^2}B}}=\frac{1}{cotB+2tanB}$,
由題知$B∈(0,\frac{π}{2})$,tanB∈(0,+∞),$cotB+2tanB∈[{2\sqrt{2},+∞})$,
∴$tanC=\frac{1}{cotB+2tanB}∈({0,\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$,可求$cosC∈[{\frac{{2\sqrt{2}}}{3},1})$.----------(12分)

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理,正弦定理,兩角和與差的正切函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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16.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(b>a),且f(x)≥0對任意實(shí)數(shù)x都成立,若$\frac{f(-2)}{f(2)-f(0)}$取到最小值時,有
(1)當(dāng)a=1,求f(x);
(2)設(shè)g(x)=|f(x)-a|,對任意的x1,x2∈[-3a,-a]都有|g(x1)-g(x2)|≤2a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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17.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$,滿足f(x)+f(x+$\frac{π}{2}}$)=0對任意的x∈R恒成立,且x=$\frac{π}{6}$為其圖象的一條對稱軸方程,則f(${\frac{11π}{4}}$)=$\sqrt{3}$.

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14.不等式f(x)=ax2+x-c>0的解集為{x|x>1或x<-2},則函數(shù)y=f(-x)的圖象大致為( 。
A.B.C.D.

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1.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$(n∈N+).
(1)證明:數(shù)列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

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11.集合A={x||x-1|<1},B={y∈R|y=2x+1,x∈R},則A∩∁RB=( 。
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18.用平行于圓錐底面的截面去截圓錐,所得小圓錐的側(cè)面積與原來大圓錐的側(cè)面積的比是$\frac{1}{2}$,則小圓錐的高與大圓錐的高的比是( 。
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15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以原點(diǎn)o為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系已知直線l的方程為ρ(3cost-4sint)=1(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù))
(I)求直線l的直角坐標(biāo)方程和圓C的普通方程:
(II)若點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離最小值.

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16.設(shè)U=R,A={x|log2x>1},B={x|2x>1},則B∩∁UA=( 。
A.{x|x>0}B.{x|x>2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x<1}

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