Question

17．已知函數(shù)$f（x）=cosx（\sqrt{3}cosx-sinx）-\sqrt{3}$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，對稱軸方程，
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈$[0，\frac{π}{2}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，即得到x）的取值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=cosx（\sqrt{3}cosx-sinx）-\sqrt{3}$
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x）-$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos（2x$+\frac{π}{6}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2x$+\frac{π}{6}$=kπ，（k∈Z），
可得：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$，（k∈Z），
∴圖象的對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$，（k∈Z），
（2）由$2kπ+π≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+2π$，（k∈Z），
可得$kπ+\frac{5π}{12}$$≤x≤\frac{11π}{12}+kπ$
∴增區(qū)間為$[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]k∈z$；
（3）當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$上時，
可得：$2x+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=π時，f（x）取得最小值為-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
此時解得x=$\frac{5π}{12}$
∴當(dāng)$x=\frac{5π}{12}$時，最小值為$-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．