18.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{f}^{'}$(e)x+xlnx(其中,e為自然對數(shù)的底數(shù),x>0).
(Ⅰ)求f′(e);
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅲ)是否存在整數(shù)k,使得對任意的x>0,f(x)>k(x-1)恒成立(*)若存在,寫出一個整數(shù)k,并證明(*);若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出f′(e)的值即可;
(Ⅱ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(Ⅲ)令k=1或2或3,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值,證出結(jié)論即可.

解答 解:(Ⅰ)∵$f'(x)=\frac{1}{3}f'(e)+lnx+1$,…(1分)
${f}^{'}(e)=\frac{1}{3}{f}^{'}(e)+1+1$,f′(e)=3…(2分)
(Ⅱ)由(1)知f(x)=x+xlnx,(x>0),f'(x)=2+lnx,…(3分)
令$f'(x)=2+lnx=0,即lnx=-2,即x=\frac{1}{e^2}$,…(4分)
令$f'(x)=2+lnx>0,即lnx>-2,即x∈({\frac{1}{e^2},+∞}),f(x)遞增$,…(5分)
令$f'(x)=2+lnx<0,即lnx<-2,即x∈({0,\frac{1}{e^2}}),f(x)遞減$,…(6分)
∴$f{(x)_{極小}}=f({\frac{1}{e^2}})=\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^2}×({-2})=-\frac{1}{e^2}$,無極大值.…(7分)
(Ⅲ)①當k=1時,命題成立…(8分).證明如下:
對任意的x>0,f(x)=x+xlnx>1(x-1)即xlnx+1>0恒成立
令g(x)=xlnx+1,g'(x)=lnx+1,令$g'(x)=1+lnx=0,即lnx=-1,即x=\frac{1}{e}$,…(9分);
令$g'(x)=1+lnx>0,即lnx>-1,即x∈({\frac{1}{e},+∞}),g(x)遞增$,…(10分);
令$g'(x)=1+lnx<0,即lnx<-1,即x∈({0,\frac{1}{e}}),g(x)遞減$,…(11分);
∴$g{(x)_{min}}=g{(x)_{極小}}=g({\frac{1}{e}})=1+\frac{1}{e}×({-1})=1-\frac{1}{e}>0$…(12分);
②當k=2時,命題成立…(8分).證明如下:
對任意的x>0,f(x)=x+xlnx>2(x-1)即xlnx-x+2>0恒成立
令g(x)=xlnx-x+2,g'(x)=lnx,令g'(x)=lnx=0,即x=1,…(9分);
令g'(x)=lnx>0,即x∈(1,+∞),g(x)遞增,…(10分);
令g'(x)=lnx<0,即x∈(0,1),g(x)遞減,…(11分);
∴g(x)min=g(x)極小=g(1)=-1+0+2=1>0…(12分);
③當k=3時,命題成立…(8分).證明如下:
對任意的x>0,f(x)=x+xlnx>3(x-1)即xlnx-2x+3>0恒成立
令g(x)=xlnx-2x+3,g'(x)=lnx-1,令g'(x)=lnx-1=0,即x=e,…(9分)
令g'(x)=lnx-1>0,即x∈(e,+∞),g(x)遞增,…(10分);
令g'(x)=lnx-1<0,即x∈(0,e),g(x)遞減,…(11分);
∴g(x)min=g(x)極小=g(e)=e-2e+3=3-e>0…(12分)
(說明:k=1,k=2,k=3只要對其中一種都是滿分.)

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道中檔題.

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