Question

7．已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，斜率為2$\sqrt{2}$的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且|AB|=9．
（1）求該拋物線的方程；
（2）設(shè)該拋物線的準(zhǔn)線為l，P為該拋物線上一點(diǎn)，PC⊥l，C為垂足，若直線CF的斜率為-$\sqrt{3}$，求|PF|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x_A+x_B．再利用弦長公式|AB|=x_A+x_B+p，得到p，即可求此拋物線的方程．
（2）得出△PCF為等邊三角形，由焦準(zhǔn)距為 4，得|CF|=8，即可求出|PF|．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
所以直線AB的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
與拋物線聯(lián)立消去y得4x²-5px+p²=0．
所以x_A+x_B=1.25p，
由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=2.25p=9，所以p=4．
所以拋物線方程為y²=8x．
（2）由直線CF的斜率為-$\sqrt{3}$，得∠CFO=60°，∴∠PCF=60°．
又由拋物線的定義知|PC|=|PF|，
∴△PCF為等邊三角形，由焦準(zhǔn)距為 4，得|CF|=8，∴|PF|=8．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與拋物線相交問題、焦點(diǎn)弦長問題、弦長公式，屬于中檔題．