Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=5，S₁₅=225，可得a₁+2d=5，15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=225，聯(lián)立解得a₁，d．即可得出；
（II）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{2}•{4}^{n}$+2n，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=5，S₁₅=225，
∴a₁+2d=5，15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=225，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1；
（II）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{2}•{4}^{n}$+2n，
∴{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$+$2×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{2}{3}$×4ⁿ+n²+n-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．