Question

5．如圖所示，已知⊙O的半徑是1，點C在直徑AB的延長線上，BC=1，點P是⊙O上半圓上的一個動點，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點D與圓心分別在PC的兩側．
（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，試將四邊形OPDC的面積y表示為關于θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求四邊形OPDC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，由余弦定理將四邊形OPDC的面積y表示為關于θ的函數(shù)；
（Ⅱ）當θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$時，可求四邊形OPDC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△POC中，由余弦定理，
得PC²=OP²+OC²-2OP•OC•cos θ=5-4cos θ，…（4分）
所以y=S_△OPC+S_△PCD
=$\frac{1}{2}$×1×2sin θ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（5-4cos θ）=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．…（8分）
（Ⅱ）當θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$時，y_max=2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
答：四邊形OPDC面積的最大值為2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題．