10.如圖,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=2,AD=$\frac{3}{2}$,BC=$\frac{1}{2}$,橢圓以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)D.
(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)E滿足$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$,問是否存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn),且|ME|=|NE|?若存在,求出直線l與AB夾角θ的正切值的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)先以AB所在直線為x軸,AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,進(jìn)而可知A,B的坐標(biāo),設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)AB的距離求得c,把x=c代入橢圓方程,求得$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$,進(jìn)而根據(jù)a,b和c的關(guān)系求得a和b,則橢圓的方程可得.
(Ⅱ)設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程消去y,根據(jù)判別式得出k和m的不等式關(guān)系,設(shè)M,N和MN中點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得出x0和y0的表達(dá)式,進(jìn)而根據(jù)|ME|=|NE|,可推斷出MN⊥EF,進(jìn)而表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得m和k的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)m和k的不等式關(guān)系確定k的范圍.

解答 解:(Ⅰ)如圖,以AB所在直線為x軸,
AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,⇒A(-1,0),B(1,0),
C(1,$\frac{1}{2}$),D(-1,$\frac{3}{2}$)
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,a>b>0.
則則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{(-1)^{2}}{{a}^{2}}+\frac{(\frac{3}{2})^{2}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$
解得a2=4,b2=3
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1,
(Ⅱ)由$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$,得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,$\frac{1}{2}$)
顯然直線 L與x軸平行時(shí)滿足題意,即θ=0
直線 l與x軸垂直時(shí)不滿足題意
不妨設(shè)直線設(shè)l:y=kx+m(k≠0),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$     得  (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由△>0,即64k2m2-4(3+4k2)•(4m2-12)>0得到4k2+3≥m2
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)F(x0,y0
則x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$,y0=kx0+m=$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$
∵|ME|=|NE|
∴MN⊥EF
∴$\frac{{y}_{0}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$    即$\frac{\frac{3m}{3+4{k}^{2}}-\frac{1}{2}}{-\frac{4km}{3+4{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$,
解得:m=-$\frac{3+4{k}^{2}}{2}$,
由4k2+3>(-$\frac{3+4{k}^{2}}{2}$)2,
 得-$\frac{1}{2}$<k<$\frac{1}{2}$,且k≠0.
故直線l與AB夾角θ的正切值的取值范圍是[0,$\frac{1}{2}$).

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系.考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想,基本的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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已知集合,集合,則( )

A. B.

C. D.

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1.(理科)已知橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的焦距為2,A是E的右頂點(diǎn),B1、B2是E的短軸兩頂點(diǎn),且直線B1A的斜率與直線B2A的斜率之積為-$\frac{3}{4}$.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過E的右焦點(diǎn)F2作直線與E交于M、N兩點(diǎn),直線MA、NA與直線X=3分別交于C、D兩點(diǎn),設(shè)△ACD與△AMN的面積分別記為S1、S2,求2S1-S2的最小值.

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18.給定正奇數(shù)n,數(shù)列{an}:a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列,定義E(a1,a2,…,an)=|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|為數(shù)列{an}:a1,a2,…,an的位差和.
(Ⅰ)當(dāng)n=5時(shí),則數(shù)列{an}:1,3,4,2,5的位差和為4;
(Ⅱ)若位差和E(a1,a2,…,an)=4,則滿足條件的數(shù)列{an}:a1,a2,…,an的個數(shù)為$\frac{{({n-2})({n+3})}}{2}$.;(用n表示)

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5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角P-AC-E的余弦值;
(Ⅲ)求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

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15.△ABC的外接圓圓心為O,半徑為2,$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$,且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|,則$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影為( 。
A.1B.2C.$\sqrt{3}$D.3

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2.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此作了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如表:
零件的個數(shù)x(個)2345
加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+a,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;
(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時(shí)間?參考公式:
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.

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19.已知圓$C:{(x+\sqrt{3})^2}+{y^2}=16,點(diǎn)A(\sqrt{3},0)$,Q是圓上一動點(diǎn),AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.
(I)求軌跡E的方程;
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20.直線2x-y+1=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=1相交于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$.

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