Question

6．若n是77⁷⁷-10除以19的余數(shù)，則${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為$\frac{168}{5}$．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理求得77⁷⁷-10除以19的余數(shù)為n=10，再在 ${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}{•x}^{\frac{2}{3}}）}^{10}$的展開式的通項(xiàng)共公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．

解答 解：又由77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-10，
故77⁷⁷-10除以19的余數(shù)為-9，即77⁷⁷-10除以19的余數(shù)為10，可得n=10．
∴則${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$=${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}{•x}^{\frac{2}{3}}）}^{10}$的展開式的通項(xiàng)共公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•${（\frac{5}{2}）}^{10-2r}$•${x}^{\frac{5r}{3}-10}$，
令$\frac{5r}{3}$-10=0，求得r=6，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{10}^{6}$•${（\frac{5}{2}）}^{-2}$=$\frac{168}{5}$，
故答案為：$\frac{168}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．