Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-3|≥t對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)當(dāng)x≥3，當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x＜3$，當(dāng)$x＜-\frac{1}{2}$時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），利用函數(shù)f（x）＞0分別求解解集即可．（2）令F（x）=f（x）+3|x-3|，利用絕對(duì)值三角不等式求解F（x）的最小值，然后求解t的取值范圍．

解答 選修4-5：不等式選講
解：（1）①當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=2x+1-（x-3）=x+4＞0，
得x＞-4，所以x≥3成立；
②當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x＜3$時(shí)，f（x）=2x+1+x-3=3x-2＞0，
得$x＞\frac{2}{3}$，所以$\frac{2}{3}＜x＜3$成立；
③當(dāng)$x＜-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-（2x+1）+x-3=-x-4＞0，得x＜-4，
所以x＜-4成立．…（3分）
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x\left|{x＜-4或x＞\frac{2}{3}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）令F（x）=f（x）+3|x-3|=|2x+1|+2|x-3|≥|2x+1-（2x-6）|=7…（8分）
（當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x≤3$時(shí)等號(hào)成立）．
所以t的取值范圍為（-∞，7]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類討論思想的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．