Question

15．若$a=2\int_{-3}^3{（{x+|x|}）dx}$，則在${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^a}$的展開式中，x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共有15項．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分求得a的值，利用二項式定理，求得其通項公式，T_k+1=${C}_{18}^{k}$${x}^{\frac{54-5k}{6}}$，0≤k≤18，分別代入，當k=6，k=12，k=18，x冪指數(shù)是整數(shù)，則x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項15項．

解答 解：$a=2\int_{-3}^3{（{x+|x|}）dx}$=2（${∫}_{-3}^{3}$xdx+${∫}_{-3}^{3}$丨x丨dx）=4${∫}_{0}^{3}$xdx=18，
${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^a}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）¹⁸，則T_k+1=${C}_{18}^{k}$（$\sqrt{x}$）^18-k（$\frac{1}{\root{3}{x}}$）^k，
=${C}_{18}^{k}$${x}^{\frac{54-5k}{6}}$，0≤k≤18，
則當k=0，k=6，k=12，k=18，x冪指數(shù)是整數(shù)，
∴x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共19-4=15，
故答案為：15．

點評 本題考查定積分的運算，考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．