Question

8．如圖所示，四棱錐P-ABCD，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，CD=$\sqrt{3}$，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O為AC的中點(diǎn)，PO=1，求：
（1）異面直線AB與PC所成角的余弦值；
（2）平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出異面直線AB與PC所成角的余弦值．
（2）求出平面PAB法向量和平面PCD法向量，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
因?yàn)锳D=1，CD=$\sqrt{3}$，AC=2，
所以AD⊥CD，∠DAC=$\frac{π}{3}$，
∴AD∥BC．A（0，0，0），$B（\sqrt{3}，\;\;-1，\;\;0）$，$C（\sqrt{3}，\;\;1，\;\;0）$，
D（0，1，0），$O（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{1}{2}，\;\;0}）$，$P（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{1}{2}，\;\;1}）$，…（2分）
$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，\;\;-1，\;\;0）$，$\overrightarrow{CP}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;-\frac{1}{2}，\;\;1}）$，…（3分）
$cos?\overrightarrow{AB}，\;\;\overrightarrow{CP}＞=\frac{{\overrightarrow{AB}\;•\;\overrightarrow{CP}}}{{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{CP}|}}=\frac{-1}{{2×\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，…（5分）
異面直線AB與PC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．…（6分）
（2）設(shè)平面PAB法向量為${\vec n_1}$=（x₁，y₁，z₁），
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0\\ \sqrt{3}{x_1}-{y_1}=0，\;\;\end{array}\right.$
令x₁=1，則${\vec n_1}=（1，\;\;\sqrt{3}，\;\;-\sqrt{3}）$，…（8分）
又$\overrightarrow{DP}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;-\frac{1}{2}，\;\;1}），\;\;\overrightarrow{DC}=（\sqrt{3}，\;\;0，\;\;0）$，
設(shè)平面PCD法向量為${\vec n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}-\frac{1}{2}{y_2}+{z_2}=0\\ \sqrt{3}{x_2}=0\end{array}\right.$
令y₂=1，則${\vec n_2}$=$（{0，\;\;1，\;\;\frac{1}{2}}）$，…（10分）
$cos?{\vec n_1}，\;\;{\vec n_2}＞=\frac{{{{\vec n}_1}•{{\vec n}_2}}}{{|{{\vec n}_1}||{{\vec n}_2}|}}=\frac{{\sqrt{105}}}{35}$．
平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{105}}}{35}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值和二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．