Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）lnx-x（a＜0），且函數(shù)f（x）在x=2處取得極值．
（I）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （I）函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，即f′（2）=0，求出a值后，可得切點坐標和切線斜率，進而得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）由（I），分析函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，比較端點值后，可得函數(shù)的最大值．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）lnx-x（a＜0），在x=2處取得極值．
∴f′（x）=x-$\frac{{a}^{2}-a}{x}$-1，且f′（2）=0，
解得：a=-1或a=2（舍去）
經(jīng)檢驗，當a=-1時，函數(shù)f（x）在x=2處取得極值．
a=-1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx-x，
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1，
則f（1）=$-\frac{1}{2}$，f′（1）=-2，
所以所求的切線方程為y+$\frac{1}{2}$=-2（x-1），
整理得4x+2y-3=0；
（II）令f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=0，解得：x=2，或x=-1（舍去），
列表得：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f'（x）		-	0	+
f（x）	$-\frac{1}{2}$	↘	最小值	↗	$\frac{e^2}{2}-2-e$

∵$\frac{e^2}{2}-2-e-（-\frac{1}{2}）=\frac{{{e^2}-2e-3}}{2}=\frac{（e-3）（e+1）}{2}＜0$，
∴$f{（x）_{max}}=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)法研究曲線在某點的切線方程，難度中檔．