Question

11．脫貧是政府關注民生的重要任務，了解居民的實際收入狀況就顯得尤為重要．現從某地區(qū)隨機抽取100個農戶，考察每個農戶的年收入與年積蓄的情況進行分析，設第i個農戶的年收入x_i（萬元），年積蓄y_i（萬元），經過數據處理得$\sum_{i=1}^{100}{x_i}=500，\sum_{i=1}^{100}{y_i}=100，\sum_{i=1}^{100}{{x_i}{y_i}=1000，}\sum_{i=1}^{100}{x_i^2}=3750$．
（Ⅰ）已知家庭的年結余y對年收入x具有線性相關關系，求線性回歸方程；
（Ⅱ）若該地區(qū)的農戶年積蓄在5萬以上，即稱該農戶已達小康生活，請預測農戶達到小康生活的最低年收入應為多少萬元？
附：在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-{n\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，其中$\overline x，\overline y$為樣本平均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知家庭的年結余y對年收入x具有線性相關關系，求出回歸系數，即可求線性回歸方程；
（Ⅱ）令$\hat y=0.4x-1≥5$得x≥15即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$n=100，\overline x=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}{x_i}=\frac{500}{100}=5，\overline y=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}{y_i}=\frac{100}{100}=1$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^{100}{{x_i}{y_i}}-100\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^{100}{x_i^2}-100{{\overline x}^2}}}=\frac{1000-100×5×1}{{3750-100×{5^2}}}=\frac{500}{1250}=0.4，\hat a=\overline y-\hat b\overline x=1-0.4×5=-1$，
所以線性回歸方程為$\hat y=0.4x-1$；
（Ⅱ）令$\hat y=0.4x-1≥5$得x≥15，
由此可預測該農戶的年收入最低為15萬元．

點評 本題考查回歸方程及其應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．