Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2acosB=2c-b．
（1）求角A的大��；
（2）若c=2b，求角B的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求b²+c²-a²=bc，進(jìn)而利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A為三角形內(nèi)角，即可得解A的值．
（2）由正弦定理得sinC=2sinB，利用三角形內(nèi)角和定理及兩角差的正弦函數(shù)公式可求cosC=0，進(jìn)而可求C，B的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
∵2acosB=2c-b，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{c}$=2c-b，可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）c=2b，由正弦定理得sinC=2sinB，
即$sinC=2sin（π-A-C）=2sin（\frac{2π}{3}-C）=\sqrt{3}cosC+sinC$，
∴cosC=0，故$C=\frac{π}{2}$，
∴$B=π-A-C=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{2}=\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理及兩角差的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．