Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（2cosx，\sqrt{3}），\overrightarrow b=（sinx，cos2x）$，設f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，$g（x）=mcos（2x-\frac{π}{6}）-2m+3（m＞0）$，若對任意${x_1}∈[0，\frac{π}{4}]$都存在${x_2}∈[0，\frac{π}{4}]$，使得g（x₁）=f（x₂）成立．則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{2}{3}，2）$
• B． $（\frac{2}{3}，2]$
• C． $[1，\frac{4}{3}]$
• D． $（1，\frac{4}{3}）$

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]，依題意，對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，可得到關于m的不等式組，解之可求得實數m的取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（2cosx，\sqrt{3}），\overrightarrow b=（sinx，cos2x）$，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
∴f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵當x∈[0，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
對于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]，
若對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
則1≤-$\frac{3m}{2}$+3，且3-m≤2，
解得實數m的取值范圍是[1，$\frac{4}{3}$]．
故選：C．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數，著重考查三角函數的性質的運用，考查二倍角的余弦，解決問題的關鍵是理解“對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立”的含義，屬于難題．