Question

11．已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2log₂x）²-4）+f（4m-2（log₂x））＞0對于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，y=0，則f（0）=f（0）=0．令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，f（x）=f（-x），即f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x）為增函數(shù)，再利用單調(diào)性求最值；
（3）不等式f（2（log₂x）²-4）+f（4m-2（log₂x））＞0，可化為2（log₂x）²-4）＞-4m+2（log₂x），
令t=log₂x，則0≤t≤1，問題就轉(zhuǎn)化為2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞-2t²+2t+4對任意t∈[0，1]恒成立，只需4m＞y_max，

解答 解：（1）證明：令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，且x₁＜x₂，∴f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最小值，f（x）_min=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=-1．
當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f（2（log₂x）²-4）+f（4m-2（log₂x））＞0
可化為，f（2（log₂x）²-4）＞f（-4m+2（log₂x））
又∵f（x）為增函數(shù)，∴2（log₂x）²-4）＞-4m+2（log₂x），
令t=log₂x，則0≤t≤1，
問題就轉(zhuǎn)化為2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞-2t²+2t+4對任意t∈[0，1]恒成立，
令y=-2t²+2t+4，只需4m＞y_max，
而y=-2t²+2t+4（0≤t≤1），
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，y_max=$\frac{9}{2}$，則4m＞$\frac{9}{2}$．
∴m的取值范圍就為m$＞\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查賦值法的運(yùn)用和函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及恒成立問題的解法，屬于中檔題．