Question

14．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（$\frac{π}{4}$-α），則sin2α的值為（　　）

• A． 1或-$\frac{17}{18}$
• B． $\frac{17}{18}$
• C． 1
• D． $-\frac{17}{18}$

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦函數公式，兩角差的正弦函數公式化簡已知等式可得cosα-sinα=0，或3（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，分類討論，即可得解sin2α的值．

解答 解：∵3cos2α=sin（$\frac{π}{4}$-α），
∴3（cos²α-sin²α）=3（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），
∴cosα-sinα=0，或3（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴當cosα-sinα=0時，可得：$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）=0，
由于α∈（0，π），可得：α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
可得：α=$\frac{π}{4}$，則sin2α=sin$\frac{π}{2}$=1；
當3（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，可得：cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
兩邊平方可得：1+sin2α=$\frac{1}{18}$，解得：sin2α=-$\frac{17}{18}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了二倍角的余弦函數公式，兩角差的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題．