8.橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,右頂點為A,上頂點為B,坐標系原點O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$,橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)如果動直線l:y=kx+n與橢圓C有且只有一個公共點,點F1,F(xiàn)2在直線l上的正投影分別是P,Q,求四邊形F1PQF2面積S的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,即a2=2b2.根據(jù)三角形OAB面積相等:$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$,代入即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由△=0,4k2-n2+3=0,由F1P⊥l,F(xiàn)2Q⊥l,直角梯形F1PQF2中位線長d1=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,點F2(1,0)直線F1P的距離d2=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d1•d2=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{(1+{k}^{2})^{2}}}$,則根據(jù)函數(shù)的單調性,即可求得四邊形F1PQF2面積S的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意可知:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,即a2=2b2
由坐標系原點O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$,
則$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a2=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}$,
解得:a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(Ⅱ)由直線l與橢圓僅有一個公共點,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(3+4k2)x2+8knx=4n2-12=0,
由△=0,4k2-n2+3=0,
由F1P⊥l,F(xiàn)2Q⊥l,
當①k≠0,在直角梯形F1PQF2中位線長d1=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
直線F1P的方程為:x+ky+1=0,
點F2(1,0)直線F1P的距離d2=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d1•d2=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{(1+{k}^{2})^{2}}}$,
令t=3+4k2,
∴S=8$\frac{t}{2{t}^{2}+2t+1}$=8$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$,
友t>3,由雙勾函數(shù)知S在t>3上單調遞減,
∴0<S<2$\sqrt{3}$,
②當k=0時,n=±$\sqrt{3}$,S=2$\sqrt{3}$,
綜上所述:四邊形F1PQF2面積S取值范圍為(0,2$\sqrt{3}$].

點評 本題考查橢圓標準方程,直線與橢圓的位置關系,考查點到直線的距離公式,雙勾函數(shù)的單調性的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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