Question

20．如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作．第一次操作：分別連結這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；第二次操作：連結剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時在挖去的3個三角形上都貼上數字標簽“2”；第三次操作：連結剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；…，如此下去．記第n次操作中挖去的三角形個數為a_n．如a₁=1，a₂=3．

（1）求a_n；
（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面積之和P_n？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和Q_n．

Answer 1

分析 （1）由題意知，數列{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數列，進而可得a_n；
（2）記第n次操作中挖去的一個三角形面積為b_n，則{b_n}是以$\frac{1}{4}$為首項，以$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，進而可得第n次操作后，挖去的所有三角形面積之和P_n；
（3）由題意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字之和為n•3^n-1，利用錯位相減法，可得挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和Q_n．

解答 解：（1）由題意知，數列{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數列，
所以a_n=3^n-1．----------------------------------------（3分）
（2）記第n次操作中挖去的一個三角形面積為b_n，
則{b_n}是以$\frac{1}{4}$為首項，以$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，所以b_n=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
故第n次操作中挖去的所有三角形面積為3^n-1-$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{4}（\frac{3}{4}）^{n-1}$，-----------------------（6分）
從而第n次操作后挖去的所有三角形面積之和P_n=$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{3}{4}）^{n}]}{1-\frac{3}{4}}$=$1-{（\frac{3}{4}）}^{n}$．-----------（8分）
（3）由題意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字之和為n•3^n-1，-----（9分）
所以所有三角形上所貼標簽上的數字的和Q_n=1×1+2×3+…+n•3^n-1，①
則3Q_n=1×3+2×3²+…+n•3ⁿ，②
①-②得，-2Q_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-n•{3}^{n}$，-----------------------------（13分）
故Q_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}+\frac{1}{4}$．---------------------------（16分）

點評 考查的知識點是等比數列的通項公式，前n項和公式，數列求和，難度中檔．