Question

15．點(diǎn)M為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一點(diǎn)，則M到直線的距離x+2y-10=0最小值為（　�。�

• A． $3\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出與直線x+2y-10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式等于0求得m值，再由兩點(diǎn)間的距離公式得答案．

解答 解：設(shè)與直線x+2y-10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x+2y-10=0}\end{array}\right.$，得25x²+18mx+9m²-144=0．
由（18m）²-100（9m²-144）=0，得576m²=14400，
解得m=±5．
當(dāng)m=-5時(shí)，直線方程為x+2y-5=0，
此時(shí)兩直線x+2y-10=0與直線x+2y-5=0的距離d=$\frac{|-10+5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
即橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離的最小值為$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．