Question

【題目】設(shè)函數(shù), 函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）討論 與 的大小關(guān)系；

（3）求的取值范圍，使得 對任意的都成立.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是，；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）由f（1）=0，且f′（x）=可得f（x）=lnx，從而化簡g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及最小值；

（2）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，半比較兩個函數(shù)的大小關(guān)系即可．

（3）利用（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．

詳解：（Ⅰ）由題設(shè)知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，

∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，

因此，x=1是g（x）的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，

從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g（1）=1．

（II）

設(shè)，則h'（x）=﹣，

當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=0，即，

當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，h′（1）＜0，

因此，h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即，

當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即．

（III）由（I）知g（x）的最小值為1，

所以，g（a）﹣g（x）＜，對任意x＞0，成立g（a）﹣1＜，

即Ina＜1，從而得0＜a＜e．