Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos2x-（sinx-cosx）²+1；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{2}，π}]$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；
（2）x∈$[{\frac{π}{2}，π}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos2x-（sinx-cosx）²+1；
化簡可得：f（x）=cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）由x∈$[{\frac{π}{2}，π}]$上時，
可得：2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]．
結合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$時，f（x）取得最小值為$-\sqrt{2}$．
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{9π}{4}$時，f（x）取得最大值為$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．
故得f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{2}，π}]$的最大值為1，最小值為$-\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．