Question

8．在圓x²+y²=3上任取一動點P，過P作x軸的垂線PD，D為垂足，$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$動點M的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程及其離心率；
（2）若直線l交曲線C交于A，B兩點，且坐標原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$得x₀=x，y₀=$\sqrt{3}$y，即可得到橢圓的方程及其離心率；
（2）由于已知坐標原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故求△AOB面積的最大值的問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值的問題，由弦長公式將其表示出來，再判斷最值即可得到線段AB的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設M（x，y），P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$得x₀=x，y₀=$\sqrt{3}$y …..（2分）
因為x₀²+y₀²=3，所以x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，
其離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…..（4分）
（Ⅱ）當AB與x軸垂直時，|AB|=$\sqrt{3}$．（5分）
②當AB與x軸不垂直時，
設直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${m}^{2}=\frac{3}{4}（{k}^{2}+1）$．（6分）
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$（7分）
∴k≠0，|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤4，
當且僅當9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$時等號成立，此時|AB|=2．（10分）
當k=0時，|AB|=$\sqrt{3}$．（11分）
綜上所述：|AB|_max=2，
此時△AOB面積取最大值$S=\frac{1}{2}|AB{|}_{max}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（12分）

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解答本題關鍵是對直線AB的位置關系進行討論，可能的最值來，本題由于要聯(lián)立方程求弦長，故運算量比較大，又都是符號運算，極易出錯，做題時要嚴謹認真．利用弦長公式求弦長，規(guī)律固定，因此此類題難度降低不少，因為有此固定規(guī)律，方法易找，只是運算量較大．